一位数加减法速算技巧,“一致性”视角下的计算教学
2022版《数学课程标准》第三学段的学段目标中有这样的表述：能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。
如何理解这段话呢？
1．一致性指的是不同数域间数与运算本质的、共性的特征。数，无论整数、小数还是分数，都是数出来的，首先是对数量的抽象，其次是对计数单位多少的表达；运算，首先加减乘除紧密相连，加法、乘法是计数单位的不断累加，减法、除法是计数单位的不断递减；其次，所有的计算都是确定计数单位与计数单位个数的过程。
2．数学是有结构的，不仅仅是教学内容，也包括 *** 、思想、策略，都是一脉相承的。我们要改变原来一个知识点、一个例题、一组练习匀速前进的教学方式，立足每一节课又高于每一节课，从一致性的视角审视课堂，通过类比推理，不断地把小数与分数的知识纳入到整数的认知结构，使学生明白数与运算就那么点事，实现数学学习结构化。
3．新课标在第三学段提一致性，是因为前两个学段数与运算主要在整数范围内进行，但这并不意味着一致性到第三学段才开始实施，我们要主动地提前进行相关的储备与渗透。如在大量数一数说一说的基础上，把十进制位值计数单位等数的核心概念厘清、弄懂、吃透、用好；从一上十几加减一位数开始，就不断强调在同样的数位上才能比较大小，在同样的数位上才能加减运算；理解数的运算就是单位个数的运算，如三上2个十乘3等于6个十6个十除以3等于2个十，6个一除以3等于2个一，2个十加2个一等于22。
那么具体到每一节计算课，围绕一致性，做什么、有什么用、怎么做、什么时候做，都值得我们深入思考。
计算课通常有这样几个步骤：创设情境，生成算式；尝试计算，小组交流；讨论算法，理解算理；巩固应用，掌握算法，一致性应该在哪个环节落地呢？根据一段时间的学习、实践、反思，个人觉得可以从以下几个方面尝试做些改变。
一、教师的意识是一致性的根本保障
新理念的落实离不开课堂，离不开教师，少一个老师的积极主动参与，课程标准的落实就多一个盲区。如果我们不清楚数学核心素养为何物，不了解数学课程的变化趋势，对整体性和一致性置若罔闻，忽视学生思维能力的培养，那么相对应的数学课堂就依然是死水一潭，要么我行我素，要么换汤不换药，人迈进了课程标准2.0时代，意识停在了教学大纲那里。
面对一致性的新要求，我们必须对教材进行统整，建构不同单元、不同运算算理的一致性，将零散的、碎片的数学知识先在自己头脑中形成整体化、系统化、逻辑化的数学知识结构。有了这样的认知与储备，才会产生相应的意识，进而有与之配套的具体到每一节计算课的教学目标和教学行为。比如加减法的结构系统就是同一计数单位的加减，在分数、小数加减法的算理理解过程中，教师要引导学生感知这一特征，并与整数加减法建立联系。再比如乘法是计数单位与计数单位相乘，计数单位上的数字与计数单位上的数字相乘，再分别加起来，整数乘法是这样：12×3=10×3+2×3=（1×3）×（10×1）+（2×3）×（1×1）=36，小数、分数乘法也是这样：1.92×0.9=（192×0.01）×（9×0.1）=（192×9）×（0.01×0.1）=1.728，这也恰恰可以解释小数乘法竖式为什么不是相同数位对齐，而且也不用费尽心思地记忆繁多的、各自为战的计算法则，本是一家人，何故如此生疏。
二、从理解数与算式的意义入手
数的概念是数的运算的基础，数的运算是对数的概念的再应用。计算课上，我们需要从十进制和计数单位的角度帮助儿童理解运算算理，感悟不同运算之间的关系，基于此，我们有必要在导入时培养学生养成主动理解数与算式意义的习惯。
如《简单的小数加减法》一课，引导学生发现数学信息，提出数学问题并生成算式后，可以作如下设计：
师：你是怎样理解6.45和4.29这两个数的？
生：6.45是由6个一、4个0.1、5个0.01组成的……
师：为什么用加法算呢？
生：因为要把6.45和4.29合并成一个数。
师：那为什么用减法算呢？
生：求一个数比另一个数多（少）多少用减法。
师：减法是加法的逆运算，我们已经学过减法的意义，你能用它解释吗？
生：《童话选》+多的钱=《数学家的故事》，已知两个加数的和与其中一个加数求另一个加数用减法。
师：从具体到一般再到具体，是数学学习的一般过程。
三、不要让理解算理成为摆设
课程标准的课程内容中强调：数是对数量的抽象，数的运算的重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联。在之一学段内容要求里增加了探索加法和减法（乘法和除法）的算理与算法的内容。我们虽然一直强调算法、算理是运算能力的一体两翼，但在实际教学中没有给予算理理解足够的重视，不深入、不彻底，停留在浅表的层面，结果极有可能是少数学生或者老师的理解，无论在时间上还是空间上都远称不上达标。
更有意义的算理理解应该包含如下教学路径：首先让学生尝试计算，并借助画一画、连一连、写一写等方式进行多元表征；然后在小组内说一说，互通有无、比较汇整，让算理理解插上思维的翅膀；接着集体汇报，能识别不同的 *** 并进行比较，尽可能让所有同学都能接触到不同的 *** 并读懂背后的理由；最后，将这些 *** 分门别类，在比较联系中发现相同本质，提炼基于一致性的通法。更重要的是，上述路径不是说说而已，或是浅尝辄止，而是要舍得花时间、舍得给机会，教学结构不能是一句空话。
以《一个数除以分数》一课为例，生成算式后，可以引导学生回忆《分数除以整数》的研究过程，唤醒学生的知识经验。然后让学生尝试计算2÷2/3，进行多元表征，小组讨论后集体汇报反馈。
组1：我们是用画图的方式思考的，先画一个长方形表示一小时行的路程，把它平均分成3份，其中的2份就是2/3小时行的路程。先求1/3小时行的路程，也就是2÷2，再乘3就是1小时行的路程，结果是3千米。
组2：也可以用线段图来表示。
组3：通过上节课的学习，我们知道分数除以整数，等于分数乘整数的倒数，我们想2÷2/3是不是等于2×3/2呢？计算的结果也是3千米。
师：2÷2/3=2×3/2，这样做是否可行呢？数学不能想当然。
组3：根据刚才1组的分析，我们可以得出这样的结论，2÷2/3=2÷2×3=2×1/2×3=2×3/2，是可以的。
师：借鉴其他组的想法，完善自己的想法，你们碰撞出了智慧的火花。
师：还有不一样的想法吗？
组4：我们是这样想的，2=6/3，6/3÷2/3=6÷2=3。
师：真棒！你们组真会学以致用。60÷20=6个十÷2个十=6÷2，0.6÷0.2=6个0.1÷2个0.1=6÷2，6/3÷2/3=6个1/3÷2个1/3=6÷2，这就是我们之前强调的一致性。
组5：我们组是根据商不变的规律来思考的，2÷2/3=（2×3/2）÷（2/3×3/2）=2×3/2，也可以得出同样的结论。
师：这样看来，我们刚才提到的一致性与商不变的规律也有联系，a个▲÷b个▲=a÷b，计数单位上的数字与计数单位上的数字直接相除，这里的▲可以是所有的计数单位。
师：同学们真厉害，想出来这么多算法。对比一下，它们有什么联系呢？
生：之一种和第三种 *** 都得出了同样的结论，除以一个分数等于乘这个分数的倒数。
师：其实第二种 *** 同样如此，（2×3）/3÷2/3=2×3÷2=2×3×1/2=2×3/2，殊途同归。
当然，运算的一致性是一个连续的过程，要深深扎根于老师的头脑中，并潜移默化地影响学生，进而变成学生的积极主动的行为。就像上面的例子，如果《分数除以整数》一课中，没有形成4/5÷3=12/15÷3=12个1/15÷3=4个1/15这一在除法运算中贯穿始终的算法，这节课便很难在一致性上有所作为。
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